Biografía de Euclides

 

Nace: alrededor del 325 a. C.
Muere: alrededor del 265 a. C. en Alejandría, Egipto

 

Euclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad, famoso por su tratado sobre matemáticas Los elementos. La perdurable naturaleza de los elementos debe hacer de Euclides el profesor de matemáticas líder de la historia. Sin embargo, poco se sabe de su vida excepto que enseñaba en Alejandría, Egipto. Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450 d. C. escribió (ver [1] o [5] o muchas otras fuentes) :

No mucho más joven que éstos [alumnos de Platón] es Euclides, quien juntó los 'Elementos', ordenando muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos de los de Teateto y también demostró irrefutablemente la cosas que habían sido probadas no tan estrictamente por sus predecesores. Este hombre vivió en tiempos del primer Ptolomeo; Arquímedes, quien siguió de cerca al primer Ptolomeo menciona a Euclides y dicen además que Ptolomeo alguna vez le preguntó si había una manera más corta de estudiar geometría que los Elemento, a lo cual respondió que no había un Camino Real hacia la geometría. Él es, por lo tanto, más joven que el círculo de Platón pero mayor que Eratóstenes y Arquímedes, que eran contemporáneos según afirma Eratóstenes por algún lado. En sus metas era un platónico, simpatizante de esta filosofía, de donde hizo el final de los “Elementos” la construcción de las llamadas figuras platónicas.

Hay más información sobre Euclides dada por algunos autores pero se considera que estos datos no son confiables. Esta información extra es de dos tipos distintos. El primero es el que dan los autores árabes que afirman que Euclides era hijo de Naucrates y que nació en Tiro. Los historiadores de las matemáticas creen que esto es totalmente ficticio y que simplemente fue inventado por los autores.

El segundo tipo de información indica que Euclides nació en Megara. Esto se debe a un error de los autores que dieron por primera vez estos datos. De hecho existió un Euclides de Megara, un filósofo que vivió unos cien años antes que el matemático Euclides de Alejandría. No es tan coincidental como parece que hubiera dos intelectuales llamados Euclides ya que este era un nombre muy común en la época; esta es una complicación más que dificulta encontrar información relacionada con Euclides de Alejandría ya que hay referencias a numerosos hombres llamados Euclides en la literatura de este periodo.

Volviendo a la cita de Proclo dada antes, el primer punto que hay que remarcar es que no hay ninguna inconsistencia en las fechas dadas. Sin embargo, aunque no sabemos con certeza exactamente a qué referencia a Euclides en la obra de Arquímedes se refiere Proclo, en lo que ha llegado hasta nosotros solamente hay una y está en Sobre la esfera y el cilindro. La conclusión obvia, por ende, es que todo concuerda en el argumento de Proclo y esto fue tomado por válido hasta que Hjelmslev lo cuestionó en [7]. Su argumento es que la alusión a Euclides fue añadida al libro de Arquímedes en una etapa posterior, y ciertamente es una referencia más bien sorprendente. No era parte de las tradiciones de la época dar este tipo de menciones; lo que es más, hay muchos otros lugares en la obra de Arquímedes en los que sería apropiado referirse a Euclides pero no sucede así. A pesar de las afirmaciones de Hjelmslev de que el pasaje fue añadido después, Bulmer-Thomas escribe en [1] que:

Aunque ya no es posible confiar en esta referencia, una consideración general de los trabajos de Euclides … aún muestra que él debe haber escrito después de discípulos de Platón tales como Eudoxo y antes de Arquímedes.

Para más información sobre la determinación de fechas relacionadas con Euclides, ver por ejemplo [4]. Esto no es el fin de la discusión sobre Euclides el matemático. La situación la resume bien Itard [6] quien da tres posibles hipótesis.

1. Euclides fue un personaje histórico que escribió los Elementos y otras obras atribuidas a él.
2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las 'obras completas de Euclides', incluso escribiendo libros a nombre de Euclides después de su muerte.
3. Euclides no fue un personaje histórico. Las 'obras completas de Euclides' fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara que había vivido unos cien años antes.

Vale la pena señalar que Itard, quien acepta las afirmaciones de Hjelmslev de que el pasaje sobre Euclides fue añadido a Arquímedes, está a favor de la segunda de las tres posibilidades enlistadas arriba. Sin embargo, debemos comentar sobre las tres que, es justo decir, resumen muy bien todas las teorías actuales.

Hay fuerte evidencia para aceptar (i). Fue aceptada sin cuestionarla durante más de 2000 años y hay poca evidencia que sea inconsistente con esta hipótesis. Es cierto que hay diferencias de estilo entre algunos de los libros de los Elementos pero muchos autores varían su estilo. Nuevamente el hecho de que Euclides sin duda basó los Elementos en obras anteriores implica que sería excepcional que no quedar rastro alguno del estilo de los autores originales.

Aun si aceptamos (i) quedan pocas dudas de que Euclides construyó una vigorosa escuela de matemáticas en Alejandría. Por lo tanto habría tenido algunos buenos alumnos que le podrían haber ayudado a escribir los libros. Sin embargo, la hipótesis (ii) va mucho más allá que esto y sugeriría que distintos libros fueron escritos por diferentes matemáticos. Aparte de las diferencias de estilo ya mencionadas, hay poca evidencia directa de esto.

Aunque a primera vista la propuesta (iii) puede parecer la más extravagante de las tres, el caso Bourbaki en el siglo XX nos muestra que esto dista de ser imposible. Henri Cartan André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley y Alexander Grothendieck escribieron colectivamente bajo en nombre de Bourbaki y sus Elementos matemáticos contiene más de 30 volúmenes. Claro que si la hipótesis (iii) fuera la acertada, entonces Apolonio, quien estudió con los discípulos de Euclides de Alejandría, habría sabido que no existión una persona de nombre ‘Euclides” pero el hecho de que haya escrito:

... Euclides no hizo la síntesis del lugar geométrico¹ con respecto a tres y cuatro líneas, sino nada más una parte de ella ...

Supondremos en este artículo que la hipótesis (i) es verdadera pero, como no tenemos conocimientos sobre Euclides, nos concentraremos en sus obras después de hacer unos cuantos comentarios sobre posibles acontecimientos históricos. Euclides debe haber estudiado en la Academia de Platón en Atenas para haber aprendido la geometría de Eudoxo y Teateto con la que estaba tan familiarizado.

Ninguna de las obras de Euclides tiene un prólogo; al menos ninguno ha llegado hasta nosotros aunque es poco probable que alguna vez hayan existido. Por eso no podemos ver nada de su personalidad, como podemos hacerlo con otros matemáticos griegos por la naturaleza de sus prefacios. Papo escribe (ver por ejemplo [1]) que Euclides era:

... de lo mas justo y bien dispuesto hacia aquellos hábiles para avanzar las matemáticas a cualquier nivel, cuidadoso de nunca ofender y sin vanagloriarse a pesar de ser él mismo un erudito.

Algunos afirman que estas palabras han sido añadidas a Papo y ciertamente el punto del pasaje (en una continuación que no hemos citado) es hablar duramente (y casi de seguro, injustamente) de Apolonio. El retrato de Euclides dibujado por Papo, no obstante, concuerda con la evidencia de sus textos matemáticos. Otra historia narrada por Stobaeus [5] es la siguiente:

... alguien que había empezado a aprender geometría con Euclides, una vez que había aprendido el primer teorema le preguntó a Euclides “¿Qué ganaré por aprender estas cosas?” Euclides llamó a su esclavo y le dijo: 'Dale tres peniques ya que debe obtener ganancias de lo que aprende'.

La obra más famosa de Euclides es su tratado matemático Los elementos. El libro era una recopilación del conocimiento que se volvió el centro de la enseñanza matemática durante 2000 años. Probablemente ninguno de los resultados en Los elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que nunca son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide.

Los elementos empieza con definiciones y cinco postulados. Los primeros tres postulados son axiomas de construcción; por ejemplo, el primero de ellos plantea que es posible dibujar una línea recta entre cualesquiera dos puntos. Estos postulados también suponen implícitamente la existencia de puntos, líneas y círculos y después deduce la existencia de otros objetos geométricos a partir de que los primeros existen. Hay otros supuestos en los postulados que no son explícitos. Por ejemplo, supone que hay una única línea uniendo cualesquiera dos puntos. Similarmente, los postulados dos y tres, al producir líneas rectas y dibujar círculos, respectivamente, suponen la unicidad de los objetos cuya construcción está siendo postulada.

Los postulados cuarto y quinto son de naturaleza distinta. El cuarto afirma que todos los ángulos rectos son iguales. Esto puede parecer 'obvio' pero de hecho supone que el espacio es homogéneo, es decir, una figura será independiente de lo posición en el espacio en la que esté colocada. El famoso quinto postulado, o de las paralelas, afirma que una y sólo una línea puede ser dibujada a través de un punto y que sea paralela a otra línea dada. La decisión de Euclides de hacer este un postulado llevó a la geometría euclidiana. No fue sino hasta el siglo XIX que este postulado fue abandonado y se estudiaron las geometrías no-euclidianas².

También hay axiomas a los que Euclides llama “nociones comunes”. Estas no son propiedades geométricas específicas sino más bien supuestos generales que permiten a los matemáticos proceder como una ciencia deductiva. Por ejemplo:

Cosas que son iguales a la misma cosa, son iguales entre sí.

Zenón de Sidón, unos 250 años después de que Euclides escribiera los elementos, parece haber sido el primero en mostrar que las proposiciones de Euclides no se deducían nada más de los postulados y axiomas y que Euclides hace otras suposiciones sutiles.

Los elementos está dividido en trece libros. Los libros del uno al seis tratan de geometría plana. En particular, los libros uno y dos dan las propiedades básicas de triángulos, paralelas, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. El tres estudia propiedades del círculo mientras que el cuatro trata con problemas sobre círculos y se cree que expone trabajo de los seguidores de Pitágoras. El libro cinco muestra el trabajo de Eudoxo sobre proporciones aplicadas a magnitudes conmensurables³ e inconmensurables. Heath [5] dice:

Las matemáticas griegas pueden jactarse de que esta teoría es su descubrimiento más fino, el cual puso sobre una base firme a mucha de la geometría que depende del uso de la proporción.

El libro seis trata de las aplicaciones en la geometría plana de los resultados del libro cinco.

Los libros siete al nueve tratan de la teoría de números⁴. En particular, el siete es una introducción auto-contenida de la teoría de números y contiene el algoritmo de Euclides⁵ para encontrar el mayor común divisor de dos números. El libro ocho estudia los números en una progresión geométrica⁶ pero van der Waerden escribe en [2] que contiene:

... enunciados enrevesados, repeticiones innecesarias e incluso falacias lógicas. Aparentemente la exposición de Euclides destacaba solamente en aquellas partes en las que tenía excelentes fuentes a su disposición.

El libro diez trata de la teoría de los números irracionales⁷ y es mayormente trabajo de Teateto. Euclides cambió las pruebas de varios de los teoremas de este libro para que encajaran en la nueva definición de proporción dada por Eudoxo.

Los libros once al trece se refieren a la geometría tridimensional. En el once se dan las definiciones básicas necesarias para los tres libros. Después los teoremas siguen un patrón muy similar al de sus análogos bidimensionales dados antes en los libros uno y cuatro. Los principales resultados del libro doce son que los círculos son unos a otros lo que los cuadrados de sus diámetros y que las esferas son unas a otras lo que los cubos de sus diámetros. Estos resultados se deben sin duda a Eudoxo. Euclides prueba estos teoremas usando el 'método exhaustivo' como fue inventado por Eudoxo. Los elementos termina con el libro trece, el cual discute las propiedades de los cinco poliedros regulares y da una prueba de que son exactamente cinco. Este libro parece basarse mayormente en un tratado anterior de Teateto.

Los elementos de Euclides es notable por la claridad con la que se exponen y demuestran los teoremas. Su nivel de rigor se convertiría en la meta de los inventores del cálculo siglos después. Como escribe Heath en [5]:

Este maravilloso libro, a pesar de sus imperfecciones, que son más bien pequeñas si se toma en cuenta la fecha de su aparición, es y sin duda seguirá siendo el más grandioso libro de matemáticas de todos los tiempos. ... Incluso en la época de los griegos, los matemáticos más brillantes se ocupaban de él: Herón, Papo, Porfirio, Proclo y Simplicio escribieron comentarios; Teón de Alejandría lo reeditó, cambiando el lenguaje aquí y allí, principalmente buscando darle mayor claridad y consistencia...

La historia de cómo los elementos sobrevivieron desde tiempos de Euclides es fascinante y Fowler la narra bien en [3]. Describe el material más antiguo sobreviviente relacionado con los elementos:

Nuestro vistazo más lejano al material euclidiano será el más notable en mil años, seis pedazos de ostraca que contienen texto y una figura ... encontrados en la Isla Elefantina en 1906/07 y 1907/08... Estos textos son antiguos aunque más de cien años después de la muerte de Platón (están datados por paleografía hacia el tercer cuarto del siglo III a. C.); son avanzados (tratan de los resultados incluidos en los 'elementos' [libro trece] ... en el pentágono, hexágono, decágono e icosaedro⁸); y no siguen el texto de los Elementos. ... Así que son evidencia de que alguien en el siglo III a. C., ubicado más de 800 kilómetros al sur de Alejandría, trabajó con este difícil material... este puede ser un intento de entender las matemáticas y no una simple copia a ciegas ...

El siguiente fragmento que tenemos data de entre el 75 y el 125 a. C. y de nuevo parece tratarse de notas de alguien tratando de comprender el material de los elementos.

Más de mil ediciones de Los elementos han sido publicadas desde su primera implresión en 1482. Heath [5] discute muchas de las ediciones y describe los posibles cambios al texto durante esos años.

B L van der Waerden evalua la importancia de los elementos en [2]:

Casi desde que fueron escritos y casi hasta el presente, Los elementos han ejercido una importante y continua influencia en los asuntos humanos. Fueron la fuente principal de razonamiento geométrico, teoremas y métodos al menos hasta la aparición de las geometrías no-euclidianas en el siglo XIX. Algunas veces se dice que, después de la Bilia, los 'Elementos' podrían ser el libro con más traducciones, el más publicado y el más estudiado de todo los libros producciones en occidente.

Euclides también escribió los siguientes libros que sobreviven: Datos (con 94 proposiciones), el cual revisa qué propiedades de las figuras pueden deducirse cuando se dan otras; Sobre las divisiones, que trata de construcciones para dividir una figura en dos partes con áreas a una razón dada; Óptica que es la primera obra griega sobre perspectiva; y Fenómenos, introducción elemental a la astronomía matemática y que da resultados sobre los momentos en que las estrellas en cierta posición saldrán y se pondrán. Los siguientes libros de Euclides se han perdido: Lugares geométricos de superficies (dos libros), Porismos (una obra de tres libros con, según Papo, 171 teoremas y lemas), Cónicas (cuatro libros), Libro de falacias y Elementos de música. El libro de falacias Proclo lo describe en [1]:

Ya que muchas cosas parecen ser conformes con la verdad y seguir principios científicos, pero desvían de los principios y engañan a los más superficiales, [Euclides] nos ha dejado métodos para el entendimiento lúcido de estos temas también ... El tratado en el que nos da esta maquinaria se llama Falacias y enumera en orden los distintos tipos, ejercitando nuestra inteligencia en cada caso mediante teoremas de toda clase, poniendo a los verdaderos junto con los falsos y combinando la regulación del error con la ilustración práctica.

Elementos de música es una obra que Proclo atribuye a Euclides. Tenemos dos tratados sobre música que han sobrevivido y que algunos autores han atribuido a Euclides pero ahora se cree que no son la obra sobre música a la que se refiere Proclo.

Euclides puede no haber sido un matemático de primera pero la perdurable naturaleza de Los elementos lo convierten en uno de los principales maestros de matemáticas de la antigüedad o incluso de todos los tiempos. Como una última nota personal déjame añadir que mi propia [EFR] introducción a las matemáticas en la escuela en los años cincuentas fue una edición de parte de los Elementos de Euclides y la obra proporcionó una base lógica para las matemáticas y el concepto de prueba que parece faltar en las matemáticas escolares hoy en día.

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson

MacTutor History of Mathematics Archive

Notas

1. Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que comparten una propiedad común.
   Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante; a esa distancia se le llama radio.
2. Una geometría no-euclidiana es aquella en la que no se cumple el postulado de las paralelas (quinto postulado) de Euclides, es decir, dado un punto y un recta que no pasa por ese punto, no hay una única recta paralela a la primera que pase por el punto. Si el postulado no se cumple porque por el punto pasa más de una paralela, entonces se trata de una geometría hiperbólica; si por el punto no pasa ninguna paralela, entonces se dice que la geometría es elíptica.
3. Dos líneas o distancias son conmensurables si la razón de sus largos es un número racional.
   Si la razón es un número irracional, entonces se dice que son inconmensurables.
4. La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.
5. Es un procedimiento muy eficiente para calcular el máximo común divisor d de una pareja de números enteros m y n y escribirlo en la forma d = pm + qn donde p y q son también enteros. Esto se hace mediante divisiones euclidianas sucesivas. Para más detalles, ver la entrada correspondiente en wikipedia.
6. Una progresión geométrica es una secuencia en la cual cada número es el mismo múltiplo del número anterior. Por ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48, ... es una progresión geométrica.
7. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.
8. Un icosaedro es un poliedro regular con 20 caras, cada una de las cuales es un triángulo equilátero.

Bibliografía

1. Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
2. Biografía en Encyclopaedia Britannica.
   Libros
3. D H Fowler, The mathematics of Plato's academy : a new reconstruction (Oxford, 1987).
4. P M Fraser, Ptolemaic Alexandria (3 vols.) (Oxford, 1972).
5. T L Heath, A history of Greek mathematics 1 (Oxford, 1931).
   Artículos:
6. J Hjelmslev, Über Archimedes' Grössenlehre, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 25 (15) (1950).

Artículo publicado originalmente en Astroseti.org (2006)

Traductora : Covadonga Escandón Martínez

Artículo original en inglés de McTutor : Euclid (325 BC - 265 BC) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)